数学/双曲線について、ここに記述してください。

https://twitter.com/genkuroki/status/826985630412386304 

双曲線上x^2-y^2=1上の微小に離れた点(x,y)、(x+dx,y+dy)と原点(0,0)で囲まれる三角形の面積dSを計算すると、
x dx-y dy=0 より(2dS)^2=dy^2-dx^2になること分かります。
右辺に「ローレンツ計量」が出て来ている。

dθ=2dSとおいて、dθ^2=dy^2-dx^2と式を整理しておきます
(微小円弧の長さdθに関するdθ^2=dx^2+dy^2の類似公式)。
x=cosh t=(e^t+1/e^t)/2、y=sinh t=(e^t-1/e^t)/2とおくとdθ^2=dt^2。

https://twitter.com/genkuroki/status/826989382636756992 

すなわち、(x,y)=(cosh t, sinh t)という双曲線x^2-y^2=1のパラメーター表示のパラメーターtは
添付画像のθに一致していることが確認できました。

添付画像は https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%8C%E6%9B%B2%E7%B7%9A%E9%96%A2%E6%95%B0 … より。